1. Consider W being the union of edges belonging to differently oriented triangles. This is Z2 homology cycle dual to w_1 of the surface. On the other hand, let  U be a cycle dual to w_1, such that U intersects exactly n triangles. Since complement of U is orientable, therefore there is a collection of orientations of triangles such that at most n agjacent pairs do not match.

Thus your number is equal to the minimal number of triangles intersected by a cycle dual to w_1.

2. It is not a topological  invariant of the surface, as seen already for RP^2. 

Consider a triangulation of RP^2 such that diameter of each triangle is less then \epsilon in the standard metric in RP^2. Anything homologous to RP^1 has length bigger then \pi therefore it will intersect at least \pi / \epsilon triangles, giving you a lower bound on your number, which could be made arbitrarily large.

Probably you need to consider the minimal number of independed non homologous between themselves nonoriented one dimensional cycles.

Минимальное число пар различно ориентированных смежных клеток в разбиении зависит от разбиения.  Рассмотрим лист Мёбиуса. Первую его триангуляцию проведем разбиением на два треугольника одной из диагоналей. Получим две различно ориентированные клетки. Во второй триангуляции до склеивания листа Мебиуса образующий прямоугольник предварительно разобьем отрезком, параллельным большей стороне. Далее каждый из двух полученных прямоугольников разобьем диагональю. После склеивания в лист Мебиуса получим две пары смежных различно ориентированных треугольников. 

Это понятно для "обычных" пространств. А вот для некоторых "новых" пространств нужно уточнять понятие ориентированной поверхности.