1. Определение. Существует известная теорема, представляющая интервал в виде конечной или счетной суммы попарно непересекающихся интервалов. Сумма длин этих смежных интервалов равна длине интервала. Точки, не принадлежащие интервалам, являются точками соединения смежных интервалов или точками конденсации. Предположим, что существует сумма интервалов, что функция строго монотонна и имеет обратную величину на каждом из этих интервалов. В таком случае функция называется невырожденной. Если функция не имеет обратной величины для любой такой суммы интервалов ни на одном из своих интервалов или не является строго монотонной, то функция называется вырожденной. Остальные функции называются полувырожденными. Продолжение функции. Если возможно, продолжайте невырожденную функцию с помощью невырожденной функции до тех пор, пока она не станет невозможной. Замечание. Если функция непрерывна на интервалах, то достаточно требовать either strict monotonicity or invertibility. Example. A constant is a degenerate function. Theorem. The non-degenerate function has a finite non-zero derivative almost everywhere. Proof. By Lebesgue’s theorem, the non-degenerate function, as a strictly monotone function on intervals, has a finite derivative almost everywhere. Suppose it is equal to zero almost everywhere. By definition, it has an inverse. Then its derivative will also be monotone and not finite almost everywhere. This contradicts Lebesgue’s theorem. Conclusion. As the negation of a non-degenerate function, the degenerate function will almost everywhere be either non-differentiable, or its derivative