Un ejemplo clásico de grupo semisimple es el grupo especial lineal SL(2, ℝ), que consiste en todas las matrices 2x2 con entradas reales y determinante 1:

SL(2, ℝ) = { A ∈ M(2, ℝ) | det(A) = 1 }

Donde M(2, ℝ) es el conjunto de todas las matrices 2x2 con entradas reales.

Este grupo es semisimple porque no tiene subgrupos normales abelianos no triviales. En otras palabras, no hay subgrupos que sean simultáneamente normales (invariantes bajo conjugación) y abelianos (conmutativos).

Otro ejemplo es el grupo especial unitario SU(3), que consiste en todas las matrices 3x3 con entradas complejas y determinante 1, que satisfacen la condición de ser unitarias (es decir, la matriz inversa es igual a la matriz conjugada transpuesta):

SU(3) = { U ∈ M(3, ℂ) | U^(-1) = U^†, det(U) = 1 }

Donde M(3, ℂ) es el conjunto de todas las matrices 3x3 con entradas complejas.

Este grupo es semisimple porque no tiene subgrupos normales abelianos no triviales, y es importante en física de partículas porque describe las simetrías de la cromodinámica cuántica (QCD).

Otros ejemplos de grupos semisimples incluyen:

- SL(n, ℝ) para n ≥ 2

- SU(n) para n ≥ 2

- SO(n) para n ≥ 3 (grupo ortogonal especial)

- Sp(n) para n ≥ 1 (grupo simpléctico)

Estos grupos son fundamentales en la teoría de la representación, la física de partículas y la geometría algebraica.