I am interested in general approach/specific examples where Floquet multipliers for linear system of ode with periodic coefficients are determined, at least approximately, by perturbation arguments. Specifically, I have in mind a linear system, parametrized by epsilon, such that: 1. for epsilon=0 the system is defined by a constant-coefficient diagonalizable matrix; 2. for epsilon>0, the system has periodic coefficients. How may I "follow" the motion of the multiplier as epsilon increases (at least for small epsilon). More than that: what may happen in case of singular perturbations?
Ciao corrado; non so esattamente cosa tu chiami "floquet multiplier", ma ho fatto un'analisi numerica abbastanza completa di questo tipo di problemi quando abbiamo lavorato sulle Bloch waves con peter markowich. Si trattava di trovare un'espressione numerica utilizzabile delle "Bloch energy bands" e le loro modulazioni. Vedi qui:
http://dx.doi.org/10.1016/j.jcp.2003.12.004
Ciao Laurent, grazie della risposta. Chiamo "floquet multiplier" un autovalore di e^{BT} con B scelta in modo che una soluzione fondamentale del sistema lineare sia della forma P(t)e^{Bt} con P periodica (notazione di Wikipedia). Se non è la terminologia più precisa, chiedo venia… Recupero il lavoro che indichi e vedo se è nella linea di quel che cerco. Grazie di nuovo.
Ok, spero che ti sia utile ... noi abbiamo derivato un metodo abbastanza efficiente per risolvere i "cell problems" per la schrodinger con potenziale periodico. Chiaramente in 1 dimensione di spazio, e' un problema di sturm-liouville che va risolto nell'ambito della teoria di Floquet (che e' la versione 1-diimensionale della teoria di Bloch).
Fammi sapere!
Ciao Corrado, forse non e' esattamente quello che cerchi ma un modo di calcolare la forma normale di Floquet e quindi la matrice B e' spiegato per esempio in
http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/120873960
spero ti sia di aiuto
I suggest you to read J. K. Hale's book ordinary differential equation. There are several example in the book. Maybe, it can help you.
Thanks to all for the replays. Actually, what Roberto wrote seems to be exactly in the direction of what I am looking for. Other interested people can look at the link he posted which explains (in much better words than mine) the problem.
Grazie Roberto per la segnalazione dell'articolo che guarderò con attenzione. In un certo senso, mi conforta il fatto che indichiate l'assenza di lavori in cui si calcola effettivamente la forma normale di Floquet. Avevo fatto un po' di ricerche, ma senza successo!
Thanks Corrado. Indeed in the work, for reason related to the rigorous proof, we did compute the real Floquet normal form but the same computation works for the complex one. However both the real or complex normal forms allow to compute the Floquet multipliers and the characteristic exponents. Up to my knowledge there are no other methods available to get the multipliers, unless you want to integrate the linear system and compute the eigenvalues of the monodromy matrix.
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