.Critical cases for local generalized parabolic Morrey spaces and k-foliated (and more) vortex patches and regularities and nonlocal operators, anisotropies and equations with loss of regularities.----To a request for feedback on rg on the article "Adams-Spanne type estimates for parabolic sublinear operators and their commutators by with rough kernels on parabolic generalized Morrey spaces" from and by Ferit Gurbuz = again, I'm not a specialist (and I speak more of the subject than of the novelty that the author brings to it) = except error of my part, your article here (eg compared to some others of you, of which my text here also speaks) uses here specifically the integral fractional parabolic operators IP(alpha) (or parabolic Riesz potentials, defined explicitly and basically + - as a convolution by a kernel being the produce of an omega with a 'power' 1/rho, rho being the quasi-distance parabolic/elliptic with dilatations for the anisotropic effects), to estimate them and estimate your (more abstract) T operators and their commutators, if they first verify (punctual) related estimates linked to the IP(alpha), all on localized generalized parabolic Morrey spaces. This use of explicit and basic IP(alpha) gives so-called adams-spanne estimates on abstract operators and interest is the use of the basic to estimate the abstract. A personal remark in connection with my article = "Pertes de régularité pour le laplacien et l'équation d'Euler sur Rn" (:"Loss of regularity for the Laplacian and the Euler equation on Rn"), which is only isotropic and without localization nor of anisotropy (but could be without problem) and more modestly, on general modules of continuity (w, W, w underlined, sw etc) of functions (and derivatives of the kernel of the inverse of the Laplacian, not far from the IP(alpha)) and to be related to some besovs, or derivatives or rates of increase of functions in generalized Morrey spaces. The w, W, w underlined, sw, etc are similar to the phi(i), i = 1,2, here. They verify integro-differential inequalities and inequations, but the 2 phi depend in part on the homogeneities between (p,lambda,phi(i)) and (q,nu,phi(j)) and other numerous exponents of powers while my w, W, w underlined, sw, etc want to deal with critical cases of bad regularities (close to L°°, critical cases) for singular integral operators where there is a additional loss of regularities, all linked to the iterative commutators of operators (integral, of derivations etc) or at a time evolution equation with a thin loss in x (of log type at maximum) in x controlled by my new theorem (x-non-analytic) with losses + - of the qualitative type of the theorems cauchy-kowaleska (which are x-analytic in the uses that are made of them). Here, p and q are good and not bad and it would be necessary to quantify explicitly in all the parameters, all the constants of inclusions and all the strict (and not large) inequalities on these parameters and their optimizations would then give conditions Orlicz and besov-orlicz in x to have new results at first static as here: for the t-evolution equations, this frame permits to reach naturally not known before existences for these x-regularities in considering their t-degradations in the evolutions without which other authors (after me!) had only one static ill-posedness. Independently I obtain furthermore the t-time holomorphy by my loss theorem in x, thanks to the holomorphic in x of the x-derivatives of the kernel of the inverse of the Laplacian out of the diagonal: iterations for both commutations of operators and for time derivatives are strongly linked, eg by an holomorphic parameter formally near time t even in the static case (see also my thesis, my jmpa95, its cras, and for anisotropic extention and / or critical cases eg already my "vortex patches dans Rn etc" and thus this "Pertes de regularités etc." with the results of this author and those working on his subject, etc.). See also my "Solutions non bornées de l'équation d'Euler Incompressible 3D et singularités interfaciques" and possible doubly singularized superpozed k-foliated vortex patches. More generally, we can imagine the blurring of (singularized superpozed) k-foliated regularities or vortex patches and on the other side, localized generalized parabolic/ elliptic/ anisotropic Morrey spaces with more blurred but still frank and 'visible' anisotropies (with still no strict k-foliated regularities), morrey spaces eg being seen as non-regularizing averagings/blurrings with possible added variable blurred anisotropies to the parabolic, elliptic and dilated ones.

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french text= (texte anglais reactualisé mais pas le texte francais) cas critiques pour les espaces de Morrey paraboliques généralisés locaux et les vortex patches foliatés et operateurs nonlocaux, anisotropies et equations a pertes de regularités.----

A une demande de feedback sur rg sur l'article "Adams-Spanne type estimates for parabolic sublinear operators and their commutators by with rough kernels on parabolic generalized Morrey spaces" de et par Ferit Gurbuz= encore une fois, je ne suis pas un specialiste (et je parle plus du sujet que de la nouveauté que l'auteur y apporte)= sauf erreur de ma part, votre article ici (eg comparé a certains autres de vous, dont mon texte ici parle aussi) utilise specifiquement ici les operateurs paraboliques fractionnels integrals IP(alpha) (ou potentiels de Riesz paraboliques, definis explicitement et basiquement +- comme une convolution par un noyau puissance avec un omega), pour les estimer et estimer vos operateurs T (plus abstraits) et leur commutateurs, si ceux-ci verifient d'abord des estimations (ponctuelles) liées aux IP(alpha), le tout sur des espaces de Morrey paraboliques generalisés locaux. 

Cet usage des IP(alpha) explicites et basiques donnent des estimations dites de adams-spanne sur des opérateurs abstraits et l'intérêt est l'usage du basique pour estimer l'abstrait. Une remarque personnelle en lien avec mon article = "Pertes de régularité pour le laplacien et l'équation d'Euler sur Rn", qui, lui n'est qu'isotrope et sans localisation ni d'anisotropie  (mais pourrait l'etre sans probleme) et plus modestement, sur des modules généraux de continuité (w, W, w souligné, sw etc) de fonctions (et des derivées du noyau de l'inverse du laplacien, pas loin des IP(alpha)), à rapprocher donc de certains besovs ou des derivées ou accroissements de fonctions dans des espaces de Morrey generalisés. Mes w, W, w souligné, sw etc s'apparentent aux phi(i), i=1,2, ici. 

Ils verifient des inegalités et inequations integro-differentielles, mais les phi dependent en partie des homogeneités entre (p,lambda,phi(i)) et (q,nu,phi(j)) alors que mes w, W, w souligné, sw  veulent traiter les cas critiques de mauvaises regularités des operateurs integraux singuliers (soit près de L°°, cas critiques) où il y a une perte de regularité supplementaire, le tout lié a la commutation itéré d'operateurs (integraux, de derivations etc) ou à une equation d'evolution en temps, a perte fine (du type log au maximum) en x controlée par mon nouveau theoreme (x-non analytique) a pertes +- du type qualitatif des theoremes cauchy-kowaleska (qui eux sont x-analytiques dans les usages qu'on en fait). 

Ici deja, p et q sont bons et non mauvais et il faudrait de plus quantifier explicitement en tous les parametres, toutes le constantes d'inclusions et toutes les inegalités strictes (et pas larges) sur ces parametres et leurs optimisations donneraient alors des conditions Orlicz et besov-orlicz en x pour avoir de nouveaux resultats deja statiques comme ici. Independamment j'obtiens de plus de l'holomorphie en temps par mon theoreme a perte en x, grace a l'holomorphie en x des derivées du noyau de l'inverse du laplacien hors de la diagonale: les iterations des commutations pour les operateurs et des derivations en temps sont fortement liées, eg par un parametre holomorphe proche du temps t (voir aussi ma these, mon jmpa95, son cras, et pour une extention anisotrope et/ou aux cas critiques eg  deja mon"vortex patches dans Rn etc" et donc ce "pertes de regularités etc" avec les resultats de cet auteur et ceux travaillant sur son sujet, etc).

Asked in project:parabolic generalized morrey, adams-spanne type…View project + the paper "adams-spanne..."